煮熟的火腿在恒温环境中如何散热？《张朝阳的物理课》求解柱坐标下热传导方程

怎么描述柱坐标体系下的热传导方程？对比高对称性的球坐标的热传导方程，柱坐标下的热传导方程又会有什么样的区别？如何利用贝塞尔函数描述传热系数极大情况下的柱坐标的热传导方程？

2月24日12时，《张朝阳的物理课》第一百二十五期开播，创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间，通过贝塞尔方程求解柱坐标下的热传导方程，并成功得到其温度分布。之后又通过传热系数极大等边界条件，借助正交基的方法，解出了柱坐标下的温度分布方程。

利用贝塞尔函数求解柱坐标下的热传导方程的通解

在上一节的课程中我们知道，三维的热传导方程是：

其中κ是傅里叶导热定律中的系数，ρ是物质密度，Cv是单位质量的定体热容。面对柱坐标的方程，张朝阳依然沿用之前求解球坐标时使用的分离变量法，即：

展开全文

将其代入前式可得：

其中，倒三角的平方符号是径向的拉普拉斯算符。

将相同变量函数整理到等式同一侧，则由于两边变量独立，等式成立的条件是该等式两边同时等于一个常数，我们这里设它为β，即可得到：

继而对于时间函数g(t) 就有:

,

皇冠信用网app（www.hg8080.vip）是一个开放皇冠信用网代理APP下载、皇冠信用网会员APP下载、皇冠信用网线路APP下载、皇冠信用网登录APP下载的皇冠正网平台。皇冠信用网APP上最新登录线路、新2皇冠信用网更新最快。皇冠信用网APP开放皇冠信用网会员注册、皇冠信用网代理开户等业务。

,

因此可以得到g(t)是一个关于e指数的函数，即：

为了保证g(t)函数是收敛的，这里的β需要是一个负数。

由于径向拉普拉斯算子在柱坐标下有：

将其代入前面关于h(r)的等式中,可得:

继续化简之后可以得到如下的形式：

我们可以看到，这样的形式和贝塞尔函数的形式非常之像，这也是为什么物理学中柱坐标经常会和贝塞尔方程绑定，而且满足贝塞尔方程的函数会被称为柱函数的原因。

我们继续在前式两边同时乘以r的平方，这样可以把左侧的单项都变成h(r)的量纲：

为了格式上更加方便计算，我们做一个简单的代换，使：

将其代入前式，这样我们就得到了一个0阶贝塞尔方程：